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用户：请推导欧拉-拉格朗日方程的变分法基础，并给出在简谐振子系统的正则化哈密顿方程。
DeepSeek-R1 纯强化学习深度推演（耗时 2.4s）
1. 构造泛函作用量 \(S = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) \, dt\)。根据哈密顿最小作用量原理，真实路径需满足 \(\delta S = 0\)。
2. 引入变分 \(\delta q(t)\) 并对时间导数项实施分部积分，结合固定端点条件 \(\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0\)。
3. 得到经典欧拉-拉格朗日方程：\(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\)。
4. 定义广义动量 \(p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\)，通过勒让德变换导出哈密顿量 \(H(q, p) = p\dot{q} - L\)。
【简谐振子系统的哈密顿正则方程】：
简谐振子的拉格朗日量为 \(L = T - V = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - \frac{1}{2}k q^2\)。
广义动量 \(p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = m\dot{q} \implies \dot{q} = \frac{p}{m}\)。
哈密顿量为系统的总能量： \[ H(q, p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kq^2 \] 由哈密顿正则方程： \[ \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}, \quad \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q} = -kq \] 这一组一阶常微分方程完整描述了简谐振子的相空间演化轨迹。
WEB // 04 TRANSPARENT COT
DeepSeek网页版长程思维链展开与透明反思

长程思维链折叠展开

观察模型每一个假定命题的分支验证与反向自查，保证高难度命题推导的可解释性。

WEB // 05 SYNTAX HIGHLIGHTING
DeepSeek网页版代码高亮与交互执行器

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WEB // 06 LONG CONTEXT ENGINE
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